Крива Коха

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Крива Коха
Збільшення сніжинки Коха
Крива Коха
Зображення
Названо на честь Гельґе фон Кох
Першовідкривач або винахідник Гельґе фон Кох
Дата відкриття (винаходу) 1904
Підтримується Вікіпроєктом Вікіпедія:Проєкт:Математика
CMNS: Крива Коха у Вікісховищі

Крива́ Ко́ха — фрактальна крива, описана 1904 року шведським математиком Хельге фон Кохом[1][2].

Крива Коха цікава тим, що ніде не має дотичних, тобто ніде не диференційовна, хоча всюди неперервна.

Три копії кривої Коха, побудовані (вістрями назовні) на сторонах правильного трикутника, утворюють замкнену криву, так звану сніжинку Коха[1][3][2]. Крива Коха задається такою системою ітераційних функцій:

Побудова

[ред. | ред. код]

Крива Коха є типовим геометричним фракталом. Процес її побудови виглядає так: беремо одиничний відрізок, поділяємо на три рівні частини і замінюємо середній інтервал рівностороннім трикутником без цього сегмента. У результаті утворюється ламана, що складається з чотирьох ланок з довжиною 1/3 довжини початкового відрізка. На наступному кроці повторюємо операцію для кожного з чотирьох отриманих ланок і так далі. Гранична крива і є кривою Коха.

Властивості

[ред. | ред. код]
  • Крива Коха ніде не диференційована і не спрямна.
  • Крива Коха не має самоперетинів.
  • Крива Коха має проміжну (тобто не цілу) розмірність Хаусдорфа, яка дорівнює , оскільки вона складається з чотирьох рівних частин, кожна з яких подібна всій кривій з коефіцієнтом подібності 1/3.
  • Довжина кривої Коха описується виразом
де  — кількість ітерацій,  — довжина початкового відрізка[3].

Узагальнення

[ред. | ред. код]
Перші сім ітерацій побудови сніжинки Коха

Можливі узагальнення кривої Коха, також використовують при побудові підстановки ламаної з чотирьох рівних відрізків, але вони мають іншу геометрію. Вони мають Розмірність Хаусдорфа від 1 до 2. Зокрема, якщо замість поділу відрізка 1:1:1 використовувати золотий перетин (φ: 1: φ), то отримаємо криву, що має відношення до мозаїк Пенроуза.

Також можна побудувати криву «Хрест Коха» на сторонах квадрата, при цьому проводячи побудову «в середину» квадрата.

Також можна побудувати «Сніжинку Коха» на сторонах рівностороннього трикутника.

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. а б Слюсар В. И. Фрактальные антенны [Архівовано 19 лютого 2018 у Wayback Machine.].// Радиоаматор. — 2002. — № 9. — С. 54 -56., Конструктор. — 2002. — № 8. — С. 6 — 8.
  2. а б Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера. — 2005.- C. 498—569
  3. а б Слюсар, В. (2007). Фрактальные антенны. Принципиально новый тип «ломаных» антенн (PDF). Электроника: наука, технология, бизнес. — 2007. — № 5. с. С. 78—83. Архів оригіналу (PDF) за 28 березня 2018. Процитовано 6 травня 2020. {{cite web}}: |pages= має зайвий текст (довідка)

Джерела

[ред. | ред. код]
  • Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера. — 2005.- C. 498—569.

Посилання

[ред. | ред. код]