Ознака Діріхле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Ознака Діріхле — в математиці одна із ознак збіжності ряду, названа на честь німецького математика Діріхле.

Твердження і доведення

[ред. | ред. код]

Нехай виконуються такі умови:

  • Послідовність обмежена, тобто .
  • .
  • .

Тоді ряд є збіжним.

Доведення

[ред. | ред. код]

Із збіжності до нуля маємо, що для будь-якого існує що виконується для всіх . Т

Також:

Оскільки то також :

Відповідно ряд є абсолютно збіжним і ряд збіжним оскільки його часткові суми відрізняються на , що прямує до нуля.

Приклади застосування

[ред. | ред. код]
  • Нехай є монотонною послідовністю і . Якщо взяти то із ознаки Діріхле випливає збіжність ряду . Таким чином теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів є наслідком теореми Діріхле.
  • Якщо є монотонно спадною і . Нехай тепер і де дійсне число Згідно елементарних тригонометричних тотожностей:
Таким чином:
Із цих формул одержується, що всі суми і за абсолютним значенням є обмеженими числом
Відповідно згідно ознаки Діріхле ряди і є збіжними.
Конкретними прикладами таких рядів є і Оскільки комплексне число для якого можна записати як і , то із збіжності цих рядів випливає збіжність комплексного ряду для і

Ознака Діріхле для невласного інтегралу

[ред. | ред. код]

Нехай виконуються умови:

  • і має на обмежену первісну , тобто ;
  • функція ;
  • .

Тоді існує.

  • Очевидно, також можна було визначити такі умови .
  • Умова монотонності в ознаці Діріхле є суттєвою.

Проте ця умова не є необхідною:

— збігається.

Див. також

[ред. | ред. код]

Джерела

[ред. | ред. код]