Дробове числення

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Дробове числення — розділ математичного аналізу, що вивчає різні способи задання операторів диференціювання $D$

$$Df(x)={\frac {d}{dx}}f(x)\,,$$

і інтегрування $J$

$$Jf(x)=\int _{0}^{x}f(s)\,ds$$

дійсного або комплексного порядку.

Історія

У прикладній математиці та математичному аналізі дробова похідна — це похідна будь-якого довільного порядку, дійсного чи комплексного. Її перша поява в листі, написаному до Гійома де Лопіталя Готфрідом Вільгельмом Лейбніцем у 1695 році. Приблизно в той самий час Лейбніц написав одному з братів Бернулі, описуючи подібність між біноміальною теоремою та правилом Лейбніца для дробової похідної добутку двох функцій.

Дробове числення було введено в одній з ранніх робіт Нільса Генріка Абеля, у якій можна побачити багато його елементів: ідею дробового інтегрування та дробового диференціювання, взаємно обернений зв'язок між ними, розуміння того, що дробові диференціювання та інтегрування можна розглядати як одну й ту саму узагальнену операцію, і навіть уніфіковану нотацію для диференціювання та інтегрування довільного дійсного порядку.

Незалежно від нього, основи предмета були закладені Ліувіллем у статті 1832 року. Самоучка Олівер Гевісайд представив практичне використання дробових диференціальних операторів в аналізі ліній електропередач приблизно в 1890 році. Теорія та застосування дробового числення значно розширилися протягом 19-го та 20-го століть. Численні автори давали різні визначення дробових похідних та інтегралів.

Дробові інтеграли

Нехай $f$ — функція, визначена на $(0,+\infty )$. Якщо оператор

$$(Jf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt\,$$

взяти двічі від $f$, то буде

$${\begin{aligned}\left(J^{2}f\right)(x)&=\int _{0}^{x}(Jf)(t)\,dt\\&=\int _{0}^{x}\left(\int _{0}^{t}f(s)\,ds\right)dt\,.\end{aligned}}$$

І це можна повторювати довільну кількість разів. За формулою Коші для повторного інтегрування

$$\left(J^{n}f\right)(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,dt\,,$$

де n — будь-яке натуральне число.

Використання гамма-функції замість факторіала дає наступний оператор дробового інтегрування:

$$\left(J^{\alpha }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha -1}f(t)\,dt\,.$$

Отриманий таким чином оператор J задовольняє наступній умові:

$${\begin{aligned}\left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)&=\left(J^{\beta }\right)\left(J^{\alpha }f\right)(x)\\&=\left(J^{\alpha +\beta }f\right)(x)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha +\beta -1}f(t)\,dt\,.\end{aligned}}$$

Це відношення називається напівгруповою властивістю дробових диферінтегральних операторів.

Дробовий інтеграл Рімана-Ліувілля

Класичною формою дробового числення є інтеграл Рімана-Ліувілля, який, по суті, є тим, що було описано вище. Теорію дробового інтегрування для періодичних функцій (включаючи «граничну умову» повторення через період) дає інтеграл Вейля. Він визначений на рядах Фур'є і вимагає, щоб вільний коефіцієнт тригонометричного ряду дорівнював нулю. Інтеграл Рімана-Ліувілля існує у двох формах, верхній та нижній. На відрізку [a,b] ці форми визначаються як

$${\begin{aligned}\sideset {_{a}}{_{t}^{-\alpha }}Df(t)&=\sideset {_{a}}{_{t}^{\alpha }}If(t)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \,,\\\sideset {_{t}}{_{b}^{-\alpha }}Df(t)&=\sideset {_{t}}{_{b}^{\alpha }}If(t)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{t}^{b}\left(\tau -t\right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \,.\end{aligned}}$$

Перша форма справедлива для t > a, а друга — для t < b.

Було запропоновано назвати інтеграл на додатній дійсній піввісі (тобто, a = 0) інтегралом Абеля-Рімана, виходячи з історії відкриття та використання, і в тому ж ключі інтеграл по всій дійсній прямій було названо інтегралом Ліувіля–Вейля.

Дробовий інтеграл Адамара

Дробовий інтеграл Адамара був введений Жаком Адамаром і задається наступною формулою:

$$\sideset {_{a}}{_{t}^{-\alpha }}{\mathbf {D} }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(\log {\frac {t}{\tau }}\right)^{\alpha -1}f(\tau ){\frac {d\tau }{\tau }},\qquad t>a\,.$$

Дробовий інтеграл Атангани-Балеану

Дробовий інтеграл Атангана-Балеану для неперервної функції визначається наступним чином:

$$\sideset {_{{\hphantom {A}}a}^{\operatorname {AB} }}{_{t}^{\alpha }}If(t)={\frac {1-\alpha }{\operatorname {AB} (\alpha )}}f(t)+{\frac {\alpha }{\operatorname {AB} (\alpha )\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \,.$$

Дробові похідні

Аналогічний процес для оператора диференціювання D є складнішим. Можна показати, що D не є ані комутативним, ані адитивним у загальному випадку.

На відміну від класичних ньютонівських похідних, дробові похідні можна визначити різними способами, які не всі призводять до однакового результату навіть для гладких функцій. Деякі з них визначаються через дробовий інтеграл. Через несумісність визначень часто необхідно чітко вказувати, яке з них використовується.

Дробові похідні функції Гаусса — неперервна інтерполяція між функцією та її першою похідною.

Дробова похідна Рімана-Ліувілля

Дробова похідна Рімана-Ліувілля обчислюється за правилом Лагранжа для диференціальних операторів. Для знаходження похідної α-го порядку обчислюється похідна n-го порядку від інтеграла порядку (n − α), де n — найменше ціле число, більше за α (тобто, n = ⌈α⌉). Дробові похідна та інтеграл Рімана-Ліувілля має декілька застосувань. Подібно до визначення інтеграла Рімана-Ліувілля, похідна має верхню та нижню форми:

$${\begin{aligned}\sideset {_{a}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{a}}{_{t}^{-(n-\alpha )}}Df(t)\\&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{a}}{_{t}^{n-\alpha }}If(t)\,,\\\sideset {_{t}}{_{b}^{\alpha }}Df(t)&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{t}}{_{b}^{-(n-\alpha )}}Df(t)\\&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{t}}{_{b}^{n-\alpha }}If(t)\,.\end{aligned}}$$

Дробова похідна Капуто

Іншим способом обчислення дробових похідних є дробова похідна Капуто. Її ввів Мікеле Капуто у своїй статті 1967 року. На відміну від дробової похідної Рімана-Ліувілля, при розв'язуванні диференціальних рівнянь використовуючи означення Капуто не потрібно визначати початкові умови дробового порядку. Означення Капуто вводится наступним чином, де знову n = ⌈α⌉:

$$\sideset {^{C}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha )}}\int _{0}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )}{\left(t-\tau \right)^{\alpha +1-n}}}\,d\tau .$$

Для $\nu \in (n-1,n)$ дробова похідна Капуто має такий вигляд:

$$\sideset {^{C}}{^{\nu }}Df(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\nu )}}\int _{0}^{t}(t-u)^{(n-\nu -1)}f^{(n)}(u)\,du\,,$$

яка має ту перевагу, що дорівнює нулю, коли f є константою, а її перетворення Лапласа виражається через початкові значення функції та її похідної. Крім того, похідна Капуто для [a,b] визначається як

$${\begin{aligned}\sideset {_{a}^{b}}{^{n}u}Df(t)&=\int _{a}^{b}\phi (\nu )\left[\sideset {^{C}}{^{\nu }}Df(t)\right]\,d\nu \\&=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\phi (\nu )}{\Gamma (1-\nu )}}\int _{0}^{t}\left(t-u\right)^{-\nu }f'(u)\,du\right]\,d\nu \,,\end{aligned}}$$

де ϕ — вагова функція.

Дробова похідна Капуто-Фабріціо

У статті 2015 року М. Капуто та М. Фабріціо представили означення дробової похідної з несингулярним ядром для неперервно-диференційованої функції f, заданої наступним чином:

$$\sideset {_{{\hphantom {C}}a}^{\text{CF}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )\ e^{\left(-\alpha {\frac {t-\tau }{1-\alpha }}\right)}\ d\tau ,$$

де $a<0,\alpha \in (0,1]$.

Дробова похідна Атангана-Балеану

У 2016 році Атангана та Балеану запропонували диференціальні оператори на основі узагальненої функції Міттага-Леффлера E_α. Метою було ввести дробові диференціальні оператори з несингулярним нелокальним ядром. Їхні дробові диференціальні оператори наведено нижче в сенсі Рімана-Ліувілля та Капуто відповідно для неперервно-диференційованої функції f:

$$\sideset {_{{\hphantom {AB}}a}^{\text{ABC}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {\operatorname {AB} (\alpha )}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)d\tau \,.$$

Якщо функція f неперервна, то похідна Атангана-Балеану в сенсі Рімана-Ліувілля має вигляд

$$\sideset {_{{\hphantom {AB}}a}^{\text{ABC}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {\operatorname {AB} (\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d}{dt}}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)d\tau \,.$$

Ядро, що використовується в дробовій похідній Атангана-Балеану, має деякі властивості кумулятивної функції розподілу. Наприклад, для всіх $\alpha \in (0,1]$ функція E_α зростає на дійсній прямій, збігається до 0 в -∞, і $E_{\alpha }(0)=1$. Отже, функція $x\mapsto 1-E_{\alpha }(-x^{\alpha })$ є кумулятивною функцією розподілу ймовірнісної міри на додатних дійсних числах. Таким чином, визначено розподіл, і будь-який його кратний розподіл називається розподілом Міттага-Леффлера порядку α. Також, всі ці розподіли ймовірностей є абсолютно неперервними. Зокрема, функція Міттага-Леффлера має окремий випадок E₁, яка є експонентою. Таким чином, розподіл Міттага-Леффлера порядку 1 є експоненційним розподілом.

Дробова похідна Ріса

Похідна Ріса визначається як

$${\mathcal {F}}\left\{{\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial \left|x\right|^{\alpha }}}\right\}(k)=-\left|k\right|^{\alpha }{\mathcal {F}}\{u\}(k),$$

де ${\mathcal {F}}$ позначає перетворення Фур'є.

Інші типи

До класичних дробових похідних включають:

• Похідна Грюнвальда-Летнікова
• Похідна Соніна-Летнікова
• Похідна Ліувілля
• Похідна Капуто
• Похідна Адамара
• Похідна Маршо
• Похідна Ріса
• Похідна Міллера-Росса
• Похідна Вейля
• Похідна Ерделі-Кобера
• $F^{\alpha }$-похідна

Нові дробові похідні включають в себе:

• Похідна Коїмбри
• Похідна Катугампола
• Похідна Гільфера
• Похідна Девідсона
• Похідна Чена
• Похідна Капуто-Фабріціо
• Похідна Атангана-Балеану

Узагальнення

Оператор Ерделі-Кобера

Оператор Ерделі-Кобера — це інтегральний оператор, введений Артуром Ерделі та Германом Кобером у 1940 році і має вигляд

$${\frac {x^{-\nu -\alpha +1}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(t-x\right)^{\alpha -1}t^{-\alpha -\nu }f(t)\,dt\,,$$

який узагальнює дробовий інтеграл Рімана-Ліувілля та інтеграл Вейля.

Застосування

Дробове збереження маси

Рівняння дробового збереження маси необхідне для моделювання потоку рідини, коли контрольний об'єм недостатньо великий порівняно з гетерогенністю і коли потік в контрольному об'ємі є нелінійним:

$$-\rho \left(\nabla ^{\alpha }\cdot {\vec {u}}\right)=\Gamma (\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha }\rho \left(\beta _{s}+\phi \beta _{w}\right){\frac {\partial p}{\partial t}}\,.$$

Електрохімічний аналіз

При вивченні окисно-відновлювальної поведінки субстрату в розчині до поверхні електрода прикладають напругу, щоб змусити електрони переходити між електродом і субстратом. Перенос електронів, що виникає в результаті, вимірюється як струм. Струм залежить від концентрації субстрату на поверхні електрода. Коли підкладка витрачається, свіжа підкладка дифундує до електрода, як описано в законах дифузії Фіка. Перетворення Лапласа другого закону Фіка дає звичайне диференціальне рівняння другого порядку (у безрозмірній формі):

$${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}C(x,s)=sC(x,s)\,.$$

Якщо взяти похідну від C(x,s), а потім обернене перетворення Лапласа, то отримаємо наступну залежність:

$${\frac {d}{dx}}C(x,t)={\frac {d^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}{dt^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}}C(x,t)\,,$$

яка пов'язує концентрацію субстрату на поверхні електроду зі струмом. Ця залежність застосовується в електрохімічній кінетиці для з'ясування механістичної поведінки. Наприклад, вона була використана для вивчення швидкості димеризації субстратів при електрохімічному відновленні.

Задача потоку підземних вод

У 2013—2014 роках були описані деякі задачі потоку підземних вод, використовуючи поняття дробової похідної. Класичний закон Дарсі було узагальнено, розглядаючи потік води як функцію похідної нецілого порядку від п'єзометричного напору. Цей узагальнений закон і закон збереження маси використали для виведення нового рівняння для потоку підземних вод.

Моделі просторово-часових дробових рівнянь дифузії

Аномальні дифузійні процеси в складних середовищах можуть бути добре описані за допомогою моделей рівнянь дифузії дробового порядку. Часова похідна відповідає довготривалому розпаду важкого хвоста, а просторова похідна — нелокальності дифузії. Рівняння просторово-часової дробової дифузії можна записати у вигляді

$${\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial t^{\alpha }}}=-K(-\Delta )^{\beta }u.$$

Простим продовженням дробової похідної є дробова похідна змінного порядку, при якому α і β змінюються на α(x, t) і β(x, t). Його можна застосовувати в моделюванні аномальної дифузії.

Моделі структурного згасного коливання

Дробові похідні використовуються для моделювання в'язкоеластичного згасного коливання в певних типах матеріалів, таких як полімери.

ПІД-регулятори

Узагальнення ПІД-регуляторів для використання дробових порядків може збільшити ступінь їхньої свободи. Нове рівняння, що зв'язує керуючу змінну u(t) з виміряним значенням похибки e(t), можна записати як

$$u(t)=K_{\mathrm {p} }e(t)+K_{\mathrm {i} }D_{t}^{-\alpha }e(t)+K_{\mathrm {d} }D_{t}^{\beta }e(t)\,,$$

де α і β — додатні дробові порядки, а K_p, K_i, і K_d — невід'ємні коефіцієнти при пропорційному, інтегральному і похідному членах відповідно (іноді позначається, як P, I, і D).

Рівняння акустичних хвиль для складних середовищ

Поширення акустичних хвиль у складних середовищах, таких як біологічні тканини, зазвичай передбачає згасання, що підпорядковується частотному степеневому закону. Таке явище можна описати за допомогою причинно-наслідкового хвильового рівняння, яке включає дробові похідні за часом:

$$\nabla ^{2}u-{\dfrac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+\tau _{\sigma }^{\alpha }{\dfrac {\partial ^{\alpha }}{\partial t^{\alpha }}}\nabla ^{2}u-{\dfrac {\tau _{\epsilon }^{\beta }}{c_{0}^{2}}}{\dfrac {\partial ^{\beta +2}u}{\partial t^{\beta +2}}}=0\,.$$

Такі моделі пов'язані із загальновизнаною гіпотезою про те, що явища множинної релаксації призводять до згасання в складних середовищах.

Дробове рівняння Шредінгера у квантовій теорії

Дробове рівняння Шредінгера має такий вигляд:

$$i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D_{\alpha }\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)\,,$$

де ψ(r, t) — хвильова функція, а ħ — скорочена стала Планка. Функція потенціальної енергії V(r, t) залежить від системи.

D_α — стала з фізичною розмірністю [D_α] = J^{1 − α}·m^α·s^−α = kg^{1 − α}·m^{2 − α}·s^{α − 2}, (при α = 2, ${\textstyle D_{2}={\frac {1}{2m}}}$ для частинки з масою m). Оператор (−ħ²Δ)^α/2 є 3-вимірною дробовою квантовою похідною Ріса, яка визначається як

$$(-\hbar ^{2}\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3}}}\int d^{3}pe^{{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }|\mathbf {p} |^{\alpha }\varphi (\mathbf {p} ,t)\,.$$

Індекс α у дробовому рівнянні Шредінгера є індексом Леві, 1 < α ≤ 2.

Дробове рівняння Шредінгера змінного порядку

Як природне узагальнення дробового рівняння Шредінгера, дробове рівняння Шредінгера змінного порядку використовується для вивчення дробових квантових явищ:

$$i\hbar {\frac {\partial \psi ^{\alpha (\mathbf {r} )}(\mathbf {r} ,t)}{\partial t^{\alpha (\mathbf {r} )}}}=\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\beta (t)}{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t),$$

де оператор (−ħ²Δ)^β(t)/2 є дробовою квантовою похідною Ріса змінного порядку.

Див. також

• Простір Соболєва
• Метод Кранка-Ніколсон
• Неньютонівська рідина