Арифметична прогресія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Арифмети́чна (аритмети́чна[1]) прогре́сія — це послідовність дійсних чисел, кожен член якої, починаючи з другого, утворюється додаванням до попереднього члена одного й того ж числа. Загальний вид арифметичної прогресії:

де  — це перший член прогресії, .

Число називають різницею арифметичної прогресії.

Арифметична прогресія є монотонною послідовністю. Якщо , то вона зростає, а при вона спадає. Якщо , то прогресія є сталою.

Знаходження -го члена арифметичної прогресії

[ред. | ред. код]

Для усіх членів прогресії, починаючи з другого, справедлива рівність:

За означенням арифметичної прогресії:

Простежується закономірність .

Властивість арифметичної прогресії

[ред. | ред. код]

Виразимо члени та через і :

і

Знайдемо їхнє середнє арифметичне:

Тобто, будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого, є середнім арифметичним двох сусідніх членів.

,

Сума перших членів арифметичної прогресії

[ред. | ред. код]

Сума n послідовних членів починаючи з першого члена

[ред. | ред. код]

Запишемо суму послідовних членів арифметичної прогресії двома способами:

Додамо ці два вирази:

Поділимо обидві частини на 2:

Отже, сума перших членів арифметичної прогресії може бути виражена такими формулами:

Сума n послідовних членів починаючи з k-го члена

[ред. | ред. код]

Із арифметичної прогресії можна виділити підпослідовність , що є арифметичною прогресією. Тоді сума перших членів :

Отже, сума послідовних членів арифметичної прогресії починаючи з -го члена:

Сума перших n натуральних чисел

[ред. | ред. код]
Анімоване доведення формули для знаходження суми перших n натуральних чисел

Суму перших натуральних чисел можна записати як:

Отже, сума перших натуральних чисел:

.

Ця формула відома як трикутне число.

Існує історія[2] про те, як Карл Ґаусс відкрив цю формулу, коли навчався у третьому класі. Щоб подовше зайняти дітей, учитель попросив клас порахувати суму перших ста чисел — . Ґаусс помітив, що попарні суми з протилежних кінців однакові: , тощо, і тому зміг відразу відповісти, що сума дорівнює . Дійсно, легко бачити, що рішення зводиться до формули , тобто до формули суми перших чисел натурального ряду.

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. § 123. Буквосполучення th у словах грецького походження. Український правопис (PDF) (українською) . Українська національна комісія з питань правопису. 2019. Архів Український правопис оригіналу за 17 вересня 2019. Процитовано 29 січня 2021.
  2. Gauss's Day of Reckoning. American Scientist (англ.). 6 лютого 2017. Процитовано 23 жовтня 2022.

Посилання на сторонні джерела

[ред. | ред. код]

Джерела

[ред. | ред. код]