Ряд Діріхле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Рядом Діріхле називається ряд виду

де s і an — комплексні числа, n = 1, 2, 3, … .

Абсцисою збіжності ряду Діріхле називається таке число , що при цей ряд збігається; абсцисою абсолютної збіжності називається таке число , що при ряд абсолютно збіжним. Для будь-якого ряду Діріхле справедливе співвідношення (якщо і скінченні).

Цей ряд відіграє значну роль в теорії чисел. Найпоширенішим прикладом ряду Діріхле є дзета-функція Рімана, а також L-функція Діріхле.

Ряд названий на честь Густава Діріхле.

Приклади

[ред. | ред. код]

Де ζ(s)дзета-функція Рімана.

де μ(n)функція Мебіуса.

де L(χ,s)L-функція Діріхле.

Похідні

[ред. | ред. код]

Нехай

Тоді можна довести

у випадку збіжності правої сторони. Для цілком мультиплікативної функції ƒ(n), у випадку збіжності для Re s > σ0, тоді

збігається для Re s > σ0. В даній формулі позначає функцію фон Мангольдта.

Добуток рядів

[ред. | ред. код]

Нехай маємо ряди

і

Якщо F(s) і G(s) є абсолютно збіжними для s > a і s > b відповідно, тоді:

Якщо a = b і ƒ(n) = g(n) то

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]