Ґратка Ліча

Ґратка Ліча — ґратка певного типу в 24-вимірному просторі.

Побудови

Побудова через код Голея

Гратку Ліча можна визначити за допомогою коду Голея ${\mathcal {C}}$ типу $[24,12,8]$ як образ при стисканні в $2{\sqrt {2}}$ разів множини векторів $(a_{1},\dots ,a_{24})\in \mathbb {Z} ^{24}$ таких, що

$a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{24}\equiv 4a_{1}\equiv 4a_{2}\equiv \cdots \equiv 4a_{24}{\pmod {8}}$

і для кожного класу j лишків за модулем 4 двійкове 24-бітове слово v, задане як

$v_{i}={\begin{cases}1,&a_{i}\equiv j{\pmod {4}},\\0,&a_{i}\not \equiv j{\pmod {4}},\end{cases}}$

належить ${\mathcal {C}}$.

Побудова через псевдоевклідів простір сигнатури (25,1)

Гратку Ліча можна побудовати за допомогою псевдоевклідового простору сигнатури (25,1). А саме, в цьому просторі розглядають парну унімодулярну ґратку $\mathrm {II} _{25,1}$, що складається з векторів $(x_{0},\dots ,x_{25})$, у яких усі координати одночасно цілі або одночасно напівцілі, і при цьому $x_{0}+\dots +x_{24}-x_{25}\in 2\mathbb {Z}$, інакше кажучи, скалярний добуток із вектором зі всіх одиниць парний.

Такій ґратці належить ізотропний вектор $u=(0,1,\dots ,24,70)$. Зазначимо, що через ізотропність $u\in \langle u\rangle ^{\perp }$ тому можна розглянути фактор-простір $\langle u\rangle ^{\perp }/\langle u\rangle$. Обмеження скалярного добутку на цей факторпростір (знову-таки, через ізотропність $u$) коректно визначене та виявляється додатно визначеним. Образ $(\langle u\rangle ^{\perp }\cap \mathrm {II} _{25,1})/\langle u\rangle$ перетину початкової ґратки з ортогональним доповненням за такої факторизації і буде ґраткою Ліча в отриманому 24-вимірному евклідовому просторі.

Властивості

• Ґратка Ліча є парною самодвоїстою (зокрема, унімодулярною) ґраткою з довжиною найкоротшого вектора рівною 2.
• Ґратка Ліча реалізує найбільше можливе контактне число в розмірності 24. Її контактне число дорівнює 196560.
• Ґратка Ліча реалізує щільне пакування куль у розмірності 24. Щільність пакування ґратки Ліча становить ${\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}\approx 0.001930$.
• Група автоморфізмів ґратки Ліча — група Конвея Co₀. Вона включає деякі спорадичні групи, зокрема Co₁ як фактор-групу Co₀ за інверсією простору, Co₂ і Co₃ як підгрупи. Група Конвея має порядок 8 315 553 613 086 720 000. Хоча обертова симетрія ґратки Ліча дуже висока, її група автоморфізмів не включає жодних відбиттів; іншими словами, ґратка Ліча хіральна.

Див. також

• Ґратка E8

Література

• Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решетки и группы. — М. : Мир, 1990.