Хвилі Лемба

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Хвилі Лемба
Названо на честь Горацій Лемб
Формула
Підтримується Вікіпроєктом Вікіпедія:Проєкт:Математика

Хвилі Лемба (англ. Lamb waves) — особливий тип хвиль, що поширюються в пружних хвилеводах. Хвилі названі ім'ям першого вченого Горація Лемба (англ. Horace Lamb), що знайшов дисперсійне співвідношення для цих хвиль і опублікував його в 1917 році. Такі хвилі є двовимірними збуреннями в нескінченному пружному шарі (область, що визначається відносно декартових координат нерівностями ). Для гармонічних хвиль з часовою залежністю для кінематичних і силових характеристик у вигляді вирази для переміщень у напрямках координат мають вигляд:

При вивченні властивостей хвиль Лемба розрізняють два типи хвильових рухів, що визначаються типами симетрії функції відносно товщинної координати у виразах (1) та (2). У випадку говорять про симетричні хвилі Лемба. Характер руху частинок середовища в таких хвилях показано на верхній частині рисунка. Характер руху частинок в антисиметричному випадку показано на лижній частині рисунка. Уже в записі виразів для складових вектора переміщень (1) і (2) видно принципову різницю між хвилями в акустичних (заповнених рідиною чи газом) і в твердотільних пружних хвилеводах. У даному випадку функції товщинної координати залежать від частоти, що не спостерігається в акустичних хвилеводах[1].

Характер руху частинок пружного щару в симетричнх та антисиметричних хвилях Лемба. Стрілка вказує напрям осі .

Дослідження властивостей хвиль у хвилеводах починається з встановлення зв'язку між хвильовим числом та частотою . Такі співвідношення визначають залежність фазової швидкості хвиль від частоти і називаються дисперсійними рівняннями Спочатку із рівнянь руху частинок пружного тіла знаходять вирази для функцій та а потім задовольняють умовам відсутності механічних напружень на поверхнях . Детально цей процес висвітлено в[2] В результаті одержано два дисперсійні рівняння, відповідно для симетричних та антисиметричних хвиль


тут

У цих виразах для та використано позначення та , відповідно, для швидкості поздовжніх та поперечних хвиль в пружному тілі. Існування в пружному тілі двох типів хвиль суттєво ускладнює картину хвильових рухів у пружних хвилеводах. Фізичною причиною таких ускладнень є та обставина, що при відбитті при похилому падінні на вільну поверхню поздовжня хвиля віддає частину своєї енергії відбитій поперечній хвилі. Такий же процес спостерігається і при падінні на вільну границю поперечної хвилі, частину енергії якої забирає відбита поздовжня хвиля.

Попри досить простий вигляд дисперсійних рівнянь (3) і (4) кількісні оцінки характеристик хвиль Лемба та якісний аналіз залежності їхніх властивостей від частоти були проведені лише в 50-і роки XX століття в роботах Р. Д. Міндліна (R. D. Mindlin). Основні результати досліджень відтворено в першому томі серії книг, що присвячені проблемам фізичної акустики[3]. Було встановлено, що перші симетрична та антисиметрична хвилі Лемба поширюються при будь-якому значенні частоти. Зі зростанням частоти їхні фазові швидкості прямують до значення фазової швидкості хвилі Релея. Для інших хвиль більш високого порядку граничним значенням фазової швидкості є швидкість поперечних хвиль.

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Мелешко В. В., Маципурв В. Т., Улітко І. А. Теорія хвилеводів. — К.: ВПЦ «Київський університет», 2013. — 413 с. — ISBN 978-966-439-627-6
  2. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.—Киев: Наукова думка,1981.—284 с.
  3. У. Мезон (Ред.)Физическая акустика.Т.1.Методы и приборы ультразвуковых исследований. Часть А.—Москва, Мир,1966. —592 с.

Джерела

[ред. | ред. код]