Теорема Лагранжа про чотири квадрати

Теорема Лагранжа про чотири квадрати стверджує, що довільне натуральне число можна подати у виді суми чотирьох квадратів цілих чисел.

Тобто для довільного натурального числа n, існують цілі числа a, b, c, d , такі що :

$n=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\,\!$

Наприклад:

${\begin{aligned}1&=1^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}\\2&=1^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}\\3&=1^{2}+1^{2}+1^{2}+0^{2}\\31&=5^{2}+2^{2}+1^{2}+1^{2}\\310&=17^{2}+4^{2}+2^{2}+1^{2}.\end{aligned}}$

Теорема доведена Лагранжем в 1770 році. Довільне натуральне число, що не записується у виді $4^{k}(8m+7)\,\!$ можна також записати як суму квадратів трьох чисел.

Доведення

Для найменших натуральних чисел 1 і 2 розклад записано вище. Також для всіх чисел виконується тотожність чотирьох квадратів:

$\ (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=$

$\ (a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+$

$\ (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+$

$\ (a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+$

$\ (a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}.$

Звідси випливає, що якщо два довільні натуральні числа можна подати у виді суми чотирьох квадратів, то це ж можна зробити і для їх добутку. Відповідно твердження теореми достатньо довести для непарних простих чисел.

Спершу для такого простого числа $p$ існує натуральне число $0<m<p$ для якого $mp=1+a^{2}+b^{2}$ для деяких цілих $a,b.$ Це випливає з того, що цілі числа $a^{2}$ для $0\leqslant a\leqslant {\frac {p-1}{2}}$ не є рівними за модулем $p.$ Справді, якщо для двох таких різних чисел $a_{1}^{2}\equiv a_{2}^{2}\mod p$ то $(a_{1}-a_{2})(a_{1}+a_{2})\equiv 0\mod p$ і або різниця $a_{1}-a_{2}$ або сума $a_{1}+a_{2}$ ділиться на $p$, що не є можливим.

Аналогічно числа $-b^{2}-1$ для $0\leqslant b\leqslant {\frac {p-1}{2}}$ не є рівними за модулем $p.$ Загалом є $p+1$ число виду $a^{2}$ або $-b^{2}-1$ із вказаними умовами і відповідно хоча б два із них належать одному класу лишків за модулем $p$. Це мають бути деякі числа $a^{2}$ і $-b^{2}-1$, тобто $a^{2}\equiv -b^{2}-1\mod p$ і відповідно існує ціле число $m$ для якого $a^{2}+b^{2}+1=mp.$ Оскільки $a^{2},b^{2}<\left({p \over 2}\right)^{2}$ то $a^{2}+b^{2}+1<1+2\left({p \over 2}\right)^{2}<p^{2}$ і звідси також $0<m<p.$

Зокрема також число $mp$ є сумою чотирьох квадратів $mp=0+1+a^{2}+b^{2}$ і один із доданків не ділиться на $p$.

Нехай тепер $m$ є мінімальним натуральним числом, для якого існує розклад у суму чотирьох квадратів $mp=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2},\,\!$ де хоча б одне із цілих чисел $x_{i}$ не ділиться на $p$. Для доведення теореми Лагранжа достатньо довести, що $m=1.$

Число $m$ є непарним. Адже якщо $m$ є парним, то парним є і $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}.\,\!$ Але тоді або всі $x_{i}$ є парними або всі непарними або два парними і два непарними. В будь-якому випадку за допомогою перепозначень можна вважати, що $x_{1}$ і $x_{2}$ мають однакову парність, а також $x_{3}$ і $x_{4}$ мають однакову парність. Тоді:

${\frac {mp}{2}}=\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {x_{3}+x_{4}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {x_{3}-x_{4}}{2}}\right)^{2}.$

Тобто ${\frac {mp}{2}}$ є сумою чотирьох квадратів не всі з яких діляться на $p$ і це суперечить мінімальності числа $m$.

Якщо $m\geqslant 3$ є непарним числом, то існують числа $y_{i},$ які є рівними $x_{i}$ за модулем $m$ і $|y_{i}|<{\frac {m}{2}}.$ Також не всі $x_{i}$ діляться на $m$ (в іншому випадку сума їх квадратів, яка є рівною $mp$, ділилася б на $m^{2},$ що не є можливим для $0<m<p$) і тому хоча б одне із чисел $y_{i}$ не є рівним 0. Відповідно згідно означень

$0<y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}<4\left({\frac {m}{2}}\right)^{2}=m^{2}$

Водночас $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}\equiv 0\mod m$ і існує ціле число $m_{2}<m$ для якого $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}=m_{2}m.$

Згідно тотожності чотирьох квадратів добуток $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}\,\!$ і $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}$ є рівний сумі квадратів деяких чотирьох цілих чисел і також:

$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}=m^{2}m_{2}p.$

Розглядаючи означення усіх $z_{i}$ у тотожності чотирьох квадратів і враховуючи, що $x_{i}$ і $y_{i}$ є рівними за модулем $m$ одержується, що всі $z_{i}$ діляться на $m$, тобто $z_{i}=mt_{i}$. Ділячи рівність $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}=m^{2}m_{2}p$ на $m^{2}$ одержуємо, що $t_{1}^{2}+t_{2}^{2}+t_{3}^{2}+t_{4}^{2}=m_{2}p$ і $m_{2}p$ є рівним сумі чотирьох квадратів, що суперечить мінімальності $m.$

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Жозефа-Луї Лагранжа
• Теорема Лежандра про три квадрати
• Теорема про суму двох квадратів
• Теорема Ферма про суму двох квадратів
• Тотожність чотирьох квадратів
• Функція суми квадратів

Джерела

• Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — Москва : Мир, 1974. — 187 с.(рос.)
• Andrews, George E. (1971). Number Theory. Philadelphia: W. B. Saunders Company.