Тензор кривини

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Тензор Рімана (тензор внутрішньої кривини многовида) з'являється при розгляді комутатора коваріантних похідних коваріантного вектора (дивіться статтю Диференціальна геометрія)

Деякі тотожності

[ред. | ред. код]

Замість коваріантних компонент можна підставити базисні вектори :

І враховуючи, що коваріантна похідна від базисних векторів дорівнює векторам повної кривини (дивіться Прості обчислення диференціальної геометрії), маємо:

Домножимо формулу (3) скалярно на , i врахуємо ортогональність векторів кривини до многовиду: . В результаті одержуємо формулу для коваріантних компонент тензора Рімана:

або після зміни знаку і перейменування індексів:

Як можна побачити з останнього рівняння (в скалярних добутках індекси і переставлені), тензор Рімана антисиметричний за першою парою індексів і за другою парою індексів (при перестановці зменшуване і від'ємник у правій частині формули (4) міняються місцями):

Також легко бачити, що тензор Рімана не змінюється при перестановці першої пари індексів з другою парою індексів (при перестановці у множниках зменшуваного індекси переставляються, але оскільки величини симетричні за індексами, то скалярний добуток зменшуваного не зміниться; у від'ємнику аналогічно, але співмножники в скалярному добутку міняються місцями, що не впливає на результат):

Згортка тензора Рімана за першим і третім індексами (або, що еквівалентно, за другим і четвертим індексами) дає симетричний тензор другого рангу , який називається тензором Річчі:

Тензор Річчі симетричний:

Тензор Річчі можна також згорнути за індексами, одержавши скалярну кривину:

Враховуючи (4), маємо:

Комутатор для контраваріантного векора одержуємо, піднявши індекс у формулі (1):

Оскільки комутатор коваріантних похідних діє на добуток тензорів за правилом диференціального оператора:

то ми можемо, користуючись формулами (1) і (11), обчислити дію комутатора коваріантних похідних на тензор, який є добутком векторів.

Але довільний тензор можна представити лінійною комбінацією таких елементарних тензорів, тому при дії комутатора на довільний тензор з будь-якою кількістю верхніх та нижніх індексів, маємо:


Тензор Рімана задовольняє дві тотожності Біанкі:

Алгебраїчна тотожність Біанкі (циклічна перестановка індексів ):

Диференціальна тотожність Біанкі (циклічна перестановка індексів ):

Алгебраїчна тотожність Біанкі

[ред. | ред. код]

Тензор Рімана задовольняє наступну тотожність:

яка називається алгебраїчною тотожністю Біанкі.

Варіанти запису алгебраїчної тотожності Біанкі

[ред. | ред. код]

Оскільки тензор Рімана має дві антисиметричні пари індексів (тензор змінює знак на протилежний при перестановці двох індексів всередині кожної з пар), причому тензор симетричний при перестановці місцями самих пар, то ми можемо, наприклад поміняти місцями перші два індекса. Одержуємо (змінивши знак):

Якщо тепер поміняти місцями пари індексів, то матимемо:

Всі ці тотожності еквівалентні, і словами їх можна описати так: фіксуємо один з індексів тензора Рімана, а з трьох решти індексів утворююємо три циклічні перестановки. Сума компонент тензора Рімана з одержаними трьома наборами індексів дорівнює нулю.

Інші варіанти одержуються при підніманні одного чи декількох індексів, наприклад:

Підготовка доведення

[ред. | ред. код]

Нехай ми маємо величину з трьома індексами яка симетрична по двох індексах (наприклад по двох перших індексах):

З неї ми можемо скласти іншу величину, яка буде антисиметрична по останніх двох індексах, за наступною формулою:

Тоді легко перевірити, що сума компонент при циклічних перестановках індексів дорівнює нулю:

Цей хід викладок не зміниться, якщо величина матиме більшу кількість індексів, які проте в перестановках не беруть участі.

Доведення виходячи із представлення через символи Крістофеля

[ред. | ред. код]

Запишемо тензор Рімана через символи Крістофеля:

Якщо ми позначимо:

то

і рівність (4) збігається з алгебраїчною тотожністю Біанкі (1).

Доведення виходячи із представлення через вектори повної кривини

[ред. | ред. код]

Запишемо тензор Рімана:

В цьому випадку

а далі все аналогічно попереднім викладкам.

Доведення через коваріантні похідні

[ред. | ред. код]

Нехай и маємо довільне скалярне поле . Введемо наступні позначення для коваріантних похідних цього поля першого та другого порядку:

Зазначимо, що друга похідна є симетричним тензором внаслідок перестановочності частинних похідних та симетрії символів Крістофеля.

Тоді згортка тензора Рімана з градієнтом дорівнює:

В цьому випадку:

і ми одержуємо тотожність:

Оскільки функція довільна, ми можемо взяти її рівній одній з координат ( — фіксований індекс):

Підставляючи (15) в (14) одержуємо (з точністю до позначень індексів) алгебраїчну тотожність Біанкі (1).

Антисиметризація тензора Рімана

[ред. | ред. код]

Використовуючи тензор тензор метричної матрьошки, можна для довільного тензора -рангу скласти наступний антисиметричний по всіх індексах тензор:

Очевидно, що антисиметричний тензор залишається незмінним після проведення процедури антисиметризації.

Застосуємо антисиметризацію до тензора Рімана:

При розкриванні визначника ми одержимо 24 доданка по перестановках індексів , причому парні перестановки будуть зі знаком «плюс», а непарні — зі знаком «мінус»:

Усього в формулі (18) буде вісім груп доданків по три доданки в кожній. Враховуючи симетрії тензора Рімана легко бачити, що всі ці вісім груп однакові (із врахуванням знаків). Тому одержуємо:

Тепер алгебраїчну тотожність Біанкі можна словами описати так: антисиметризація тензора Рімана дорівнює нулю.

Кількість лінійно незалежних компонент внутрішньої кривини

[ред. | ред. код]

Якщо  — розмірність многовида, то кількість комбінацій в антисиметричній парі індексів дорівнює:

Оскільки тензор Рімана симетричний щодо перестановки пар індексів, то його компоненти записуються (з точністю до знаку) через таку кількість різних чисел:

Але ці числа пов'язані лінійними залежностями, які слідують з алгебраїчної тотожності Біанкі. Кількість цих рівнянь, як легко бачити з формули (19), дорівнює кількості істотно різних компонент антисиметричного тензора четвертого рангу :

(зауважимо, що формула (22) дає правильний результат, тобто нуль, тоді коли )

Отже кількість лінійно незалежних компонент тензора Рімана дорівнює різниці:

Звичайно, формула (23) дає тільки максимально можливу кількість лінійно незалежних компонент тензора Рімана для даної розмірності многовида. А для конкретних многовидів ця кількість може бути меншою. Наприклад для плоского простору ця кількість дорівнює нулю, а для гіперповерхні в системі координат головних напрямків, маємо для індексів формулу:

а отже кількість лінійно незалежних компонент не перевищує кількості комбінацій з по 2, тобто:

Зв'язок з іншими властивостями внутрішньої кривини

[ред. | ред. код]

Внаслідок алгебраїчної тотожності Біанкі, внутрішня кривина многовида повністю визначається за значеннями наступної квадратичної форми від бівекторів :

Також з алгебраїчною тотожністю Біанкі пов'язана можливість альтернативного погляду на внутрішню кривину через Симетричний тензор внутрішньої кривини.


Диференціальна тотожність Біанкі

[ред. | ред. код]

Тензор Рімана задовольняє наступну тотожність:

яка називається диференціальною тотожністю Біанкі.

Доведення з використанням спеціальної системи координат

[ред. | ред. код]

Достатнньо вибрати на многовиді якусь одну довільну точку і довести рівність (1) у цій точці. Оскільки точка довільна, то звідси слідуватиме справедливість тотожності (1) на всьому многовиді.

В точці ми можемо вибрати таку спеціальну систему координат, що всі символи Крістофеля (але не їхні похідні) перетворюються в нуль в точці (див. статтю Майже декартові координати в точці многовида). Тоді для коваріантних похідних в точці маємо:

Оскільки

то в точці маємо:

Циклічно переставляючи в (4) індекси одержимо ще дві рівності:

Легко бачити, що при додаванні рівностей (4), (5) і (6) в лівій частині рівняння буде вираз (1), а в правій, врахувавши комутативність частинних похідних, усі доданки взаємно знищаться і ми одержимо нуль.

Існування декартової системи координат

[ред. | ред. код]
Якщо існує декартова система координат, то

Якщо на многовиді існує декартова система координат (в якій метричний тензор дорівнює одиничній матриці ), то в цій системі координат всі похідні метричного тензора , а отже і всі символи Крістофеля тотожно дорівнюють нулю:

Отже і всі компоненти тензора Рімана в декартовій системі координат дорівнюють нулю:

Але оскільки тензор Рімана при переході в іншу систему координат перетворюється по тензорним правилам:

то він дорівнює нулю в будь-якій іншій системі координат на цьому многовиді.

Якщо , то можна побудувати декартову систему координат

Нехай тензор Рімана тотожно дорівнює нулю в деякій зв'язній області многовида. Візьмемо довільну точку в межах цієї області - ця точка буде початком нашої майбутньої декартової системи координат. В точці виберемо якийсь ортонормований базис - вектори цього базису будуть задавати додатні напрямки координатних осей майбутньої системи координат.

Розглянемо один із векторів базису, який поки що для простоти позначимо буквою (взагалі-то кількість базисних векторів , і треба було б позначити індексом, який із базисних векторів ми розглядаємо; але поки ми зосередимося на побудові однієї координати).

Користуючись паралельним перенесенням починаючи з точки , в кожній точці області многовида побудуємо вектор, паралельний вектору . Результат перенесення не залежить від шляху переносу (оскільки тензор Рімана дорівнює нулю), а залежить тільки від кінцевої точки. Таким чином ми одержали в нашій області векторне поле:

яке до того ж є постійним стосовно коваріантного диференціювання, тобто справедливі рівності:

З останнього рівняння, враховуючи означення коваріантної похідної і симетрію символів Крістофеля, знаходимо:

Тепер, оскільки

То вектор є градієнтом деякої скалярної функції :

Функцію в якійсь точці області многовида можна обчислити через інтеграл по кривій, що сполучає початок координат і точку :

причому результат інтегрування не залежить від кривої (внаслідок формули Стокса і рівності (5)).

Функція і буде однією з координат. Тепер повернемося до інших векторів базису, цього разу уже пронумеруємо ці вектори індексом, взятим у дужки. Так само для кожного такого вектора побудуємо в нашій області відповідне постійне векторне поле, яке є градієнтом відповідної координати:

Оскільки паралельне перенесення групи векторів зберігає скалярні добутки між ними, а в початку координат ці скалярні добутки дорівнюють одиничній матриці, то в усій області маємо:

тобто координати є декартовими.

Погляд із охоплюючого евклідового простору

[ред. | ред. код]

Розглянемо рівність:

в якійсь точці многовиду, і дві геодезичні лінії, що проходять через цю точку, але в різних напрямках. Кривини цих геодезичних дорівнюють:

Тепер домножимо (10) на добуток , одержимо:

Висновок - кривини всіх геодезичних напрямлені приблизно в один бік, многовид не має сідлових точок, в яких би різні геодезичні викривлялися в протилежні боки.

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]