Рівняння Якобі — Маддена

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Рівняння Якобі — Маддена — це діофантове рівняння

яке 2008 року запропонували фізик Лі У. Якобі та математик Деніел Дж. Мадден[1][2]. Змінні a, b, c і d можуть бути будь-якими цілими числами, додатними, від'ємними або 0[3]. Якобі й Мадден показали, що є безліч розв'язків рівняння з усіма не рівними нулю змінними.

Історія

[ред. | ред. код]

З кожного розв'язку рівняння Якобі — Маддена взаємно однозначно випливає деякий розв'язок рівняння

,

яке вперше запропонував 1772 року Леонард Ейлер, який припустив, що чотири є найменшим числом (більшим від одиниці) четвертих степенів ненульових цілих чисел, які в сумі дають інший четвертий степінь. Ця гіпотеза, відома тепер як гіпотеза Ейлера, є природним узагальненням великої теореми Ферма; останню довів для четвертого степеня сам П'єр Ферма.

Ноам Елкіс[en] першим знайшов нескінченну послідовність розв'язків цього рівняння Ейлера з однією змінною рівною нулю, спростувавши гіпотезу Ейлера для випадку четвертого степеня[4].

Однак до публікації Якобі та Маддена було невідомо, чи існує нескінченна кількість розв'язків рівняння Ейлера четвертого степеня з усіма ненульовими змінними. Було відоме лише скінченне число таких розв'язків[5][6]. 1964 року Сімха Брудно отримав один із таких розв'язків[7] із розв'язку рівняння Якобі — Маддена:

Підхід

[ред. | ред. код]

Якобі та Мадден почали з

і тотожності,

.

Додавши до обох частин рівняння,

можна бачити, що це окремий випадок піфагорової трійки,

Вони потім використали розв'язок Брудно й еліптичну криву для побудови нескінченної серії розв'язків як рівняння Якобі — Маддена, так і рівняння Ейлера. На відміну від методу Елкіса[en], в побудові використано ненульові значення змінних.

Якобі та Мадден помітили також, що інше початкове значення, таке як

яке знайшов Ярослав Вроблевський[6], дає іншу нескінченну серію розв'язків[8].

У серпні 2015 року Сейдзі Томіта оголосив про два нові розв'язки рівняння Якобі — Маддена з невеликими значеннями[9]:

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Jacobi, Madden, 2008, с. 220–236.
  2. Mathematicians find new solutions to an ancient puzzle. Архів оригіналу за 1 березня 2012. Процитовано 17 січня 2019.
  3. Будь-який нетривіальний розв'язок має включати як додатні, і від'ємні значення.
  4. Elkies, 1988, с. 825–835.
  5. Weisstein, Eric W. Diophantine Equation–4th Powers(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  6. а б Jaroslaw Wroblewski Database of solutions to the Euler’s equation [Архівовано 2019-10-17 у Wayback Machine.]
  7. Brudno, 1964, с. 1027–1028.
  8. Seiji Tomita, Solutions of a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = (a+b+c+d)^4 [Архівовано 2018-01-19 у Wayback Machine.], 2010.
  9. Seiji Tomita, New solutions of a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = (a+b+c+d)^4 [Архівовано 2016-03-04 у Wayback Machine.], 2015.

Література

[ред. | ред. код]