Прямокутний дельтоїд

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Прямокутний дельтоїд із описаним і вписаним колами. Кути при вершинах ліворуч і праворуч прямі.

Прямокутний дельтоїд — це дельтоїд (чотирикутник, який має дві пари суміжних сторін однакової довжини), який можна вписати в коло[1]. Тобто це дельтоїд з описаним колом (вписаний дельтоїд). Прямокутний дельтоїд є опуклим чотирикутником і має два протилежні прямі кути[2].

Вписане коло

[ред. | ред. код]

Всі прямокутні дельтоїди є біцентричними чотирикутниками (які мають описане і вписане кола), оскільки всі дельтоїди мають вписане коло. Одна з діагоналей (яка служить віссю симетрії) ділить прямокутний дельтоїд на два прямокутні трикутники і є також діаметром описаного кола.

В описаному чотирикутнику (тобто, який має вписане коло), чотири відрізки між центром вписаного кола і точками дотику з чотирикутником розбивають чотирикутник на чотири прямокутні дельтоїди.

Особливий випадок

[ред. | ред. код]

Особливим випадком прямокутних дельтоїдів є квадрати, в яких діагоналі мають однакову довжину і вписане та описане кола концентричні.

Дельтоїд є прямокутним дельтоїдом тоді й лише тоді, коли він має описане коло (за визначенням). Це еквівалентно тому, що дельтоїд має два протилежні прямі кути.

Формули

[ред. | ред. код]

Оскільки прямокутний дельтоїд можна розбити на два прямокутні трикутники, наведені далі формули легко виходять з добре відомих властивостей прямокутних трикутників. У прямокутному дельтоїді ABCD, де два протилежні кути B і D прямі, два інші кути можна обчислити з

,

де a = AB = AD і b = BC = CD. Площа прямокутного дельтоїда дорівнює

Діагональ AC, яка є віссю симетрії, має довжину

і, оскільки діагоналі перпендикулярні (так що прямокутний дельтоїд є ортодіагональним чотирикутником із площею ), інша діагональ BD має довжину

Радіус описаного кола дорівнює (за теоремою Піфагора)

і, оскільки всі дельтоїди є описаними, радіус вписаного кола задає формула

,

де  — півпериметр.

Площа задається в термінах радіуса R описаного кола та радіуса r вписаного кола як[3]

Якщо ми позначимо відрізки на діагоналях від точки перетину до вершин за годинниковою стрілкою через , то

Це прямий наслідок теореми про середнє геометричне.

Двоїстість

[ред. | ред. код]

Двоїстим многокутником[en] для прямокутного дельтоїда є рівнобічна трапеція[1].

Альтернативне визначення

[ред. | ред. код]

Іноді прямокутний дельтоїд визначають як дельтоїд зі щонайменше одним прямим кутом[4]. Якщо є лише один прямий кут, він має бути між двома сторонами рівної довжини. І тут не діють формули, наведені вище.

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. а б de Villiers, 2009, с. 154, 206.
  2. de Villiers, 1994, с. 11–18.
  3. Josefsson, 2012, с. 237–24.
  4. 1728 Software Systems, Kite Calculator, accessed 8 October 2012. Архів оригіналу за 6 вересня 2021. Процитовано 29 березня 2019.

Література

[ред. | ред. код]
  • Michael de Villiers. Some Adventures in Euclidean Geometry. — Key Curriculum Press, 2009. — ISBN 978-0-557-10295-2.
  • Michael de Villiers. The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals // For the Learning of Mathematics. — 1994. — Т. 14, вип. 1.
  • Martin Josefsson. Maximal Area of a Bicentric Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2012. — Т. 12. — С. 237–241.