Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Обернена матриця — матриця (позначається
A
−
1
{\displaystyle \ A^{-1}}
невиродженої квадратної матриці
A
{\displaystyle \ A}
n
×
n
{\displaystyle \ n\times n}
A
A
−
1
=
A
−
1
A
=
I
n
{\displaystyle \ AA^{-1}=A^{-1}A=I_{n}}
де
I
n
{\displaystyle \ I_{n}}
одинична
n
×
n
{\displaystyle \ n\times n}
Якщо для матриці
A
{\displaystyle \ A}
A
−
1
{\displaystyle \ A^{-1}}
оборотною , тобто кожна невироджена матриця є оборотною, і навпаки — кожна оборотна матриця є невиродженою.
(
A
−
1
)
−
1
=
A
{\displaystyle (\mathbf {A} ^{-1})^{-1}=\mathbf {A} }
інволюцією .
(
A
T
)
−
1
=
(
A
−
1
)
T
{\displaystyle (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }}
транспонованої матриці
(
A
∗
)
−
1
=
(
A
−
1
)
∗
{\displaystyle (\mathbf {A} ^{*})^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{*}}
спряженої матриці
(
k
A
)
−
1
=
k
−
1
A
−
1
{\displaystyle (k\mathbf {A} )^{-1}=k^{-1}\mathbf {A} ^{-1}}
k
≠
0.
{\displaystyle k\not =0.}
(
A
B
)
−
1
=
B
−
1
A
−
1
{\displaystyle (\mathbf {AB} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}}
det
(
A
−
1
)
=
det
(
A
)
−
1
{\displaystyle \det(\mathbf {A} ^{-1})=\det(\mathbf {A} )^{-1}}
визначник оберненої матриці.
rang
(
A
)
=
n
{\displaystyle \operatorname {rang} (A)=n}
Власні вектори матриці та її оберненої — збігаються, а власні значення є оберненими .Якщо потрібно розв'язати систему лінійних рівнянь
A
x
=
b
{\displaystyle Ax=b}
A
−
1
{\displaystyle A^{-1}}
x
=
A
−
1
b
{\displaystyle x=A^{-1}b}
простору розв'язків більше нуля, або їх немає зовсім. де
A
~
{\displaystyle {\tilde {A}}}
союзна матриця . ...
A
−
1
=
[
a
b
c
d
]
−
1
=
1
det
A
[
d
−
b
−
c
a
]
=
1
a
d
−
b
c
[
d
−
b
−
c
a
]
.
{\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det A}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.}
Обернена матриця існує тоді і тільки тоді , коли
a
d
−
b
c
=
det
A
≠
0
{\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0}
A
−
1
=
[
a
b
c
d
e
f
g
h
k
]
−
1
=
1
det
A
[
e
k
−
f
h
c
h
−
b
k
b
f
−
c
e
f
g
−
d
k
a
k
−
c
g
c
d
−
a
f
d
h
−
e
g
b
g
−
a
h
a
e
−
b
d
]
=
1
a
e
k
+
b
f
g
+
c
d
h
−
c
e
g
−
b
d
k
−
a
f
h
[
e
k
−
f
h
c
h
−
b
k
b
f
−
c
e
f
g
−
d
k
a
k
−
c
g
c
d
−
a
f
d
h
−
e
g
b
g
−
a
h
a
e
−
b
d
]
.
{\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det A}}{\begin{bmatrix}ek-fh&ch-bk&bf-ce\\fg-dk&ak-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{aek+bfg+cdh-ceg-bdk-afh}}{\begin{bmatrix}ek-fh&ch-bk&bf-ce\\fg-dk&ak-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\\\end{bmatrix}}.}
Обернена матриця існує тоді і тільки тоді , коли
a
e
k
+
b
f
g
+
c
d
h
−
c
e
g
−
b
d
k
−
a
f
h
=
det
A
≠
0
{\displaystyle aek+bfg+cdh-ceg-bdk-afh=\det A\neq 0}
