Нуль у нульовому степені

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Графік функції z = xy поблизу x = 0, y = 0

Вираз (нуль в нульовому степені) багато підручників вважають невизначеним і позбавленим сенсу[1]. Пов'язано це з тим, що функція двох змінних в точці має неусувний розрив. Справді, уздовж додатного напрямку осі де вона дорівнює одиниці, а вздовж додатного напрямку осі де вона дорівнює нулю. Тому ніяка домовленість про значення не може дати неперервну в нулі функцію.

Деякі автори пропонують домовитись про те, що цей вираз дорівнює 1. На користь такого варіанту наводяться кілька доводів. Наприклад, розклад у ряд експоненти:

можна записати коротше, якщо прийняти  :

(наша домовленість використовується при ).

Якщо 0 відносити до натуральних чисел, то піднесення до натурального степеня можна визначити так:

і тоді піднесення будь-якого числа (зокрема й нуля) до нульового степеня даватиме 1.

Інше обґрунтування домовленості спирається на «Теорію множин» Бурбакі[2]: число різних відображень n -елементної множини в m-елементну дорівнює при отримуємо відображення порожньої множини в порожню, а воно єдине. Зрозуміло, це не можна вважати доведенням (домовленості не потребують доведень), тим більше що в самій теорії множин домовленість не використовується.

В будь-якому випадку домовленість чисто символічна, і вона не може використовуватися ні в алгебраїчних, ні в аналітичних перетвореннях через розривність функції в цій точці. Приклад для аналітичних обчислень: вираз де  — довільне додатне дійсне число. При ми отримуємо невизначеність типу і, якщо не відрізняти граничну форму (де кожен з нулів позначає прямування до нуля) і значення (де кожен з нулів і є нуль), можна помилково порахувати, що границя дорівнює 1. Насправді цей вираз тотожно дорівнює Це означає, що нескінченно мала в нескінченно малому степені може в границі дати будь-яке значення, не обов'язково одиницю. Подібних помилок можна припуститися, якщо використовувати домовленість в алгебричних перетвореннях.

Історія різних точок зору

[ред. | ред. код]

Дискусія з приводу визначення триває, принаймні, з початку XIX століття. Багато математиків тоді приймали цю угоду, але в 1821 році Коші[3] відніс до невизначеностей, таких, як У 1830-х роках Лібрі[en][4][5] опублікував непереконливий аргумент на користь (див. Функція Гевісайда § Історія), і Мебіус[6] став на його сторону, помилково заявивши, що щоразу, коли . Оглядач, який підписався просто як «S», надав контрприклад , і це трохи заспокоїло дебати. Більше історичних деталей можна знайти в книзі Кнута (1992)[7] .

Пізніші автори інтерпретують описану вище ситуацію по-різному. Деякі стверджують, що оптимальне значення для залежить від контексту, і тому визначити його раз і назавжди проблематично[8]. Згідно з Бенсоном (1999), «вибір, чи слід визначати ґрунтується на зручності, а не на правильності. Якщо ми утримаємося від визначення , то деякі твердження стають надмірно незручними. <…> Консенсус полягає у використанні визначення , хоча є підручники, які утримуються від визначення »[9].

Частина математиків вважає, що має бути визначено як 1. Наприклад, Кнут (1992) впевнено стверджує, що «має бути 1», розрізняючи значення , яке має дорівнювати 1, як це було запропоновано Лібрі, і граничну форму (абревіатура для границі де ), яка обов'язково є невизначеністю, як зазначено Коші: «І Коші, й Лібрі мали рацію, але Лібрі та його захисники не розуміли, чому істина на їхньому боці»[7].

Авторитетний сайт MathWorld, навівши думку Кнута, все ж констатує, що зазвичай значення вважається невизначеним, незважаючи на те, що домовленість дозволяє в деяких випадках спростити запис формул[10]. Велика радянська енциклопедія та деякі інші джерела характеризують як вираз, що не має сенсу (невизначеність).

Розкриття невизначеності 00

[ред. | ред. код]

Якщо дано дві функції і , які прямують до нуля, то границя в загальному випадку може бути будь-якою, таким чином, з цієї точки зору є невизначеністю. Для знаходження границі в цьому випадку користуються методами розкриття невизначеності, як правило спочатку взявши логарифм від цього виразу: , а потім скориставшись правилом Лопіталя.

Однак, за певних умов ця границя буде завжди дорівнювати одиниці. А саме: якщо функції і є аналітичними в точці (тобто в деякому околі точки збігаються зі своїм рядом Тейлора), і , а в околі , то границя при яке прямує до нуля справа дорівнює 1[11][12][13].

Наприклад, таким чином можна відразу переконатися, що

При цьому треба не забувати, що якщо хоча б одна з функцій не розкладається в ряд Тейлора в точці 0, то границя може бути будь-якою, або її може не існувати. Наприклад,

У комп'ютерах

[ред. | ред. код]

Стандарт IEEE 754-2008[ru], що описує формат подання чисел з рухомою комою, визначає три функції піднесення до степеня[14]:

  • Функція для піднесення до цілого степеня: . Відповідно до стандарту, для будь-якого , зокрема, коли дорівнює нулю, NaN або нескінченності.
  • Функція для піднесення до довільного степеня:  — по суті рівна . Відповідно до стандарту, повертає значення «не число» NaN.
  • Функція для піднесення до довільного степеня, яка особливо визначена для цілих чисел: . Відповідно до стандарту, для всіх (так само як і ).

У багатьох мовах програмування нуль в нульовому степені дорівнює 1. Наприклад, в C++: pow(0, 0) == 1, у мові Haskell це правильно для всіх трьох стандартних операцій піднесення до степеня: 0^0 == 1, 0^^0 == 1, 0**0 == 1.

Література

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. БСЭ та 1969—1978.
  2. N. Bourbaki. Theory of Sets // Elements of Mathematics, Springer-Verlag, 2004, III, § 3.5.
  3. Augustin-Louis Cauchy. Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes, series 2, volume 3.
  4. Guillaume Libri. Note sur les valeurs de la fonction 00x, Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67-72.
  5. Guillaume Libri. Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303—316.
  6. A. F. Möbius.  // Journal für die reine und angewandte Mathematik : magazin. — 1834. — S. 134—136.
  7. а б Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403—422 (arXiv: math/9205211 [math.HO]).
  8. Например: Edwards and Penny (1994). Calculus, 4th ed, Prentice-Hall, p. 466; Keedy, Bittinger, and Smith (1982). Algebra Two. Addison-Wesley, p. 32.
  9. Donald C. Benson, The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies. New York Oxford University Press (UK), 1999. ISBN 978-0-19-511721-9.
  10. Weisstein, Eric W.[en]. Power. Wolfram MathWorld. Процитовано 5 жовтня 2018.
  11. Louis M. Rotando; Henry Korn. The indeterminate form 00 // Mathematics Magazine : magazine. — 1977. — No. 1 (1). — P. 41—42.
  12. sci.math FAQ: What is 0^0?. www.faqs.org. Процитовано 30 серпня 2019.
  13. Leonard J. Lipkin. On the Indeterminate Form 00 // The College Mathematics Journal. — 2003. — Вип. 1. — С. 55—56. — ISSN 0746-8342.
  14. IEEE Computer Society. . — IEEE, 2008. — . — 8. — ISBN 978-0-7381-5753-5.