Нерівність Бішопа — Громова

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Нерівність Бішопа — Громова — теорема порівняння в рімановій геометрії. Є ключовим твердженням у доведенні теореми Громова про компактність[1].

Нерівність названа на честь Річарда Бішопа[en] та Михайла Громова.

Формулювання

[ред. | ред. код]

Нехай  — повний n-вимірний ріманів многовид з обмеженою знизу кривиною Річчі, тобто

для сталої .

Позначимо через кулю радіуса r навколо точки p, визначену відносно ріманової функції відстані.

Нехай позначає n-вимірний модельний простір. Тобто  — повний n-вимірний однозв'язний простір сталої секційної кривини . Таким чином,

Тоді для будь-яких і функція

не зростає в інтервалі .

Зауваження

[ред. | ред. код]
  • При нерівність можна записати так
при .
  • Якщо r прямує до нуля, то співвідношення наближається до одиниці, отже разом із монотонністю це означає, що
Цю версію вперше довів Бішоп[2][3].

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А., Введение в риманову геометрию 1991, с. 320, (22.5)
  2. Bishop, R. A relation between volume, mean curvature, and diameter. Amer. Math. Soc. Not. 10 (1963), p. 364.
  3. Bishop R.L., Crittenden R.J. Geometry of manifolds, Corollary 4, p. 256