Метод Гальоркіна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Метод Гальоркіна — чисельний метод розв'язання диференціальних рівнянь з граничними умовами. Диференціальні рівняння з граничними умовами у математичній фізиці називаються задачею математичної фізики.

Загальне формулювання

[ред. | ред. код]

Нехай є диференціальне рівняння з деякими крайовими умовами (першого роду)

,, (1)
,.

Наближений розв'язок шукаємо у вигляді наступної суми

, (2)

де

— деяка неперервна функція, що задовільняє крайові умови (1),
, , якась система лінійно незалежних функцій, повна в класі неперервних функцій, що визначені на відрізку [a,b] і набувають нульових значень на його кінцях.

Якщо для функції вираз є ортогональним до при , то — розв'язок задачі (1).

Якщо ортогональність є тільки при , то

.

Замість будемо брати наближений розв'язок у формі (2) і будемо вимагати, щоб

Застосування до квантової механіки

[ред. | ред. код]

Нехай є диференціальне рівняння на функцію u(x)-

де H - оператор.

Саму функцію представляють у вигляді суми -

.

Метод дає нам саме коефіцієнти .

Розглянемо функції на [0,∞).

Домножимо рівняння на і проінтегруємо, маємо -

.

Введемо наступне позначення -

.

Маємо систему лінійних рівнянь -

.

Яка розв'язується за умови -

.

Посилання

[ред. | ред. код]