Лінійно впорядкована множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Лінійно впорядкована множина (ланцюг) — частково впорядкована множина (множина на якій задане відношення нестрогого порядку), в якій для будь-яких двох елементів і виконується чи

Тобто, для вимога рефлексивності посилена до вимоги повноти.

Частковий випадок лінійно впорядкованої множини — цілком впорядкована множина. Іншими словами: лінійний порядок = частковий порядок з умовою повноти.

Лінійний порядок використовується в

Ланцюг

[ред. | ред. код]

Термін ланцюг іноді є синонімом лінійно впорядкованої множини, проте може також використовуватись для означення підмножини деякої множини з частковим порядком. Останнє означення має критичне значення у лемі Цорна.

Хай множина всіх підмножин множини цілих, частково впорядкована за відношенням підмножини (). Тоді множина , де In - множина натуральних чисел менших за n — ланцюг, лінійно впорядокований за : .

Приклади

[ред. | ред. код]
  • Кардинальні та порядкові числа є лінійно впорядкованими (точніше цілком впорядкованими).
  • Множина дійсних чисел зі звичайним відношенням порядку є лінійно впорядкованою множиною. Це — надзвичайно важлива властивість дійсних чисел. Виявляється, що існування відношення порядку сумісного з арифметичними операціями й задовільняючого певним додатковим вимогам може буде застосовано для визначення (або характеризації) поля дійсних чисел.

Джерела

[ред. | ред. код]