Конгруенція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Конгруенція — відношення еквівалентності на алгебричній структурі, що зберігається за основних операцій. Поняття відіграє важливу роль в універсальній алгебрі: будь-яка конгруенція породжує відповідну фактор-структуру — розбиття початкової алгебричної структури на класи еквівалентності відносно конгруенції.

Визначення

[ред. | ред. код]

Відношення на множині називають стабільним відносно -арної операції , визначеної на цій множині, якщо для будь-яких елементів () множини з істинності відношень () випливає істинність відношення .

Відношення називають конгруенцією на алгебричній системі , якщо воно стабільне відносно кожної з головних операцій системи . (За такого визначення поняття конгруенції не залежить від основних відношень системи .)

Фактор-структура

[ред. | ред. код]
Докладніше: Фактор-структура

Для алгебричної системи на фактор-множині за конгруенцією для всіх операцій і відношень природним чином вводяться операції і відношення над відповідними класами суміжності:

,
.

Отримана система позначається і називається фактор-структурою, а відображення , яке визначається правилом  — канонічним епіморфізмом.

Множина всіх конгруенцій даної системи утворює повну ґратку відносно операцій об'єднання та перерізу, а також задає відношення включення:

.

Для будь-якого набору конгруенцій заданої алгебричної системи має місце такий результат (теорема Ремака): фактор-структура за перерізом набору конгруенцій вкладається в прямий добуток фактор-структур за кожною з конгруенцій набору:

.

Джерела

[ред. | ред. код]