Квадратичний закон взаємності

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В математиці, а точніше в теорії чисел, квадратичний закон взаємності — твердження, що стосується розв'язності квадратичних рівнянь у модульній арифметиці .

Твердження

[ред. | ред. код]

Елементарне твердження

[ред. | ред. код]

Нехай маємо два різних простих числа p і q. Тоді квадратичний закон взаємності стверджує, що:

  • Якщо хоча б одне з чисел p і q є рівним 1 за модулем 4, то рівняння відносно невідомого x:
має розв'язок тоді й лише тоді, коли має розв'язок відносно невідомого y таке рівняння:
  • Якщо p і q рівні 3 за модулем 4, то рівняння відносно невідомого x:
має розв'язок тоді й лише тоді, коли рівняння відносно невідомого y:
не має розв'язку.

Твердження за допомогою символу Лежандра

[ред. | ред. код]

З використанням символу Лежандра, твердження закону можна записати так:

Також існує два доповнення до закону:

    і    

Приклади

[ред. | ред. код]

Для простих чисел

[ред. | ред. код]

Нехай p дорівнює 11, а q дорівнює 19, i тоді (оскільки ). Далі , і, оскільки 2 не є квадратичним лишком за модулем 3, маємо: . Тобто одержуємо, що 11 є квадратичним лишком за модулем 19. Це твердження легко можна перевірити:

Загальний випадок

[ред. | ред. код]

Покажемо, що 219 є квадратичним лишком за модулем 383. Із властивостей символу Лежандра маємо:

Використання квадратичного закону взаємності дає рівність:

Подальше використання закону та властивостей символу Лежандра приводить до необхідного результату:

Див. також

[ред. | ред. код]