Експонента (теорія груп Лі)

У теорії груп Лі експонентою називається відображення з алгебри Лі ${\mathfrak {g}}$ групи $G,$ що приймає значення в самій групі. Експонента є одним з найголовніших інструментів вивчення груп і алгебр Лі і зв'язків між ними.

Звичайна експонента дійсних чисел чи експонента матриці є прикладами загальної експоненти для відповідних груп і алгебр Лі.

Визначення

Нехай $G$ — група Лі, а ${\mathfrak {g}}$ — відповідна алгебра Лі. Алгебру Лі можна інтерпретувати, як дотичний простір в одиниці групи, тобто $T_{e}G$ або як простір лівоінваріантних векторних полів на групі $G.$ Таке лівоінваріантне векторне поле значення якого на одиничному елементі рівне $X$ позначається $v_{X}.$

Оскільки група Лі є гладким многовидом для векторного поля $v_{X}$ в околі одиничного елемента існує інтегральна крива $\gamma _{X}(t)$ така що $\gamma _{X}(0)=e.$ Неважко довести, що для груп Лі дана інтегральна крива визначена для всіх дійсних чисел і $\gamma _{X}(s+t)=\gamma _{X}(s)\gamma _{X}(t).$

Тому можна визначити відображення $\exp \colon {\mathfrak {g}}\to G$ визначене як:

$\exp(X)=\gamma _{X}(1).$

Це відображення і називається екпоненційним відображенням або експонентою.

Приклади

• Позначивши $\mathbb {R} _{+}$ — множину додатних дійсних чисел з операцією множення отримаємо групу Лі алгебра Лі якої ізоморфна множині дійсних чисел. Експонента в цьому випадку рівна звичайній експоненті дійсних чисел.
• Нехай $GL(n,\mathbb {R} )$ — множина невироджених дійсних матриць розмірності n. Разом з операцією множення матриць ця множина є групою Лі алгебра Лі якої рівна $M(n,\mathbb {R} )$ — множина квадратних матриць розмірності n. Експонентою в цьому випадку буде експонента матриць.
• Нехай V — скінченновимірний дійсний лінійний простір, який з операцією додавання векторів є групою Лі. Тоді $\operatorname {Lie} (V)=V$ через ідентифікацію простору V з його дотичним простором у точці 0. При такій ідентифікації експонента

$\operatorname {exp} :\operatorname {Lie} (V)=V\to V$

є тотожним відображенням.

Властивості

• Якщо $t,s\in \mathbb {R} ,$ то $\exp tX=\gamma _{tX}(1)=\gamma _{X}(t)$ звідки з властивостей цих кривих $\exp(t+s)X=(\exp tX)(\exp sX).$
• Як наслідок з попереднього $\exp(-X)=(\exp X)^{-1}.\,$
• Експоненційне відображення $\exp \colon {\mathfrak {g}}\to G$ є гладким відображенням. Його диференціал у нулі, $\exp _{*}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$, є тотожним лінійним відображенням. Відповідно експонента є дифеоморфізмом між деяким околом 0 в ${\mathfrak {g}}$ і деяким околом одиничного елемента в групі $G$.

• Загалом проте експонента не є локальним дифеоморфізмом в кожній своїй точці, прикладом може бути відображення з so(3) в SO(3).
• $\exp tX$ є однопараметричною підгрупою в $G,$ тобто гладким гомоморфізмом х групи $\mathbb {R}$ з операцією додавання в групу $G.$ Більш того всі однопараметричні підгрупи в $G$ мають вигляд $\exp tX$ для деякого $X\in {\mathfrak {g}}.$
• Нехай $\phi \colon G\to H$ — гомоморфізм груп Лі і $\phi _{*}$ його диференціал в одиниці. Тоді наступна діаграма є комутуючою:

• Застосовуючи попередню властивість до приєднаних представлень групи $G$ отримуємо властивості:
  • $g(\exp X)g^{-1}=\exp(\mathrm {Ad} _{g}X)\,$
  • $\mathrm {Ad} _{\exp X}=\exp(\mathrm {ad} _{X}).\,$
• Нехай елементи $X,Y\in {\mathfrak {g}}$ комутують, тобто $[X,Y]=0,$ тоді елементи $\exp X,\exp Y$ комутують, як елементи групи $G$ щодо операції множення в групі й крім того $\exp(X+Y)=\exp X\exp Y.$
• Позначивши $G_{e}$ — зв'язану компоненту групи $G,$ що містить одиничний елемент ($G_{e}$ є підгрупою в $G$) то множина ${\exp X,\;X\in {\mathfrak {g}}}$ є породжуючою для $G_{e},$ тобто довільний елемент $g\in G_{e}$ можна записати як $\exp X_{1}\cdot \exp X_{2}\cdot \ldots \cdot \exp X_{n},$ де $X_{1},\ldots ,X_{n}\in {\mathfrak {g}}.$ Зокрема група Лі є зв'язаною тоді й лише тоді коли всі її елементи можна записати в такому виді.
• Якщо група $G$ є компактною або нільпотентною то експоненційне відображення є сюрєкцією на $G_{e},$ тобто довільний елемент $g\in G_{e}$ рівний $\exp X$ для деякого $X\in {\mathfrak {g}}.$ Це ж твердження справедливе і у випадку групи $GL(n,\mathbb {R} ).$
• Образ експоненційного відображення у зв'язаній але не компактній чи нільпотентній групі $SL(2,\mathbb {R} )$ не рівний усій групі. Образом може бути $\mathbb {C}$-діагоналізовна матриця з власними значеннями рівними додатнім дійсним числам чи недійсним числам з модулем 1, недіагоналізовні матриці обидва власні значення яких рівні 1 і матриця $-I$. Зокрема матриці з дійсними від'ємними власними значеннями за виключенням $-I$ не належать образу.

Див. також

• Приєднане представлення групи Лі
• Експонента матриці
• Експоненційне відображення

Посилання

• E.P. van den Ban Lecture Notes on Lie groups [Архівовано 19 вересня 2017 у Wayback Machine.]

Джерела

• Голод П. І., Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрії. — К. : Наукова думка, 1992. — 368 с.
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (вид. 2nd), Springer, ISBN 0-387-40122-9.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Exponential mapping, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Helgason, Sigurdur (2001), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Graduate Studies in Mathematics, т. 34, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2848-9, MR 1834454.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, т. Vol. 1 (вид. New), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.