Доказ ірраціональності числа пі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У 1760-х роках Йоганн Генріх Ламберт першим довів, що число π є ірраціональним, тобто його не можна виразити дробом , де і обидва є цілими числами. У 19 столітті Шарль Ерміт знайшов доведення, яке не вимагає жодних попередніх знань, окрім базових обчислень. Три спрощення доведення Ерміта належать Мері Картрайт, Івану Нівену та Ніколя Бурбакі. Інше доведення, яке є спрощенням доведення Ламберта, належить Міклошу Лачковічу. Багато з них є доведеннями від супротивного.

У 1882 році Фердинанд фон Ліндеман довів, що π не тільки ірраціональне, але й трансцендентне.[1]

Доведення Ламберта

[ред. | ред. код]
Скан формули на сторінці 288 Ламберта «Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques», Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin (1768), 265–322

У 1761 році Ламберт довів те, що π є ірраціональним, спочатку показавши те, що цей розклад у ланцюговий дріб виконується:

Тоді Ламберт довів, що якщо x ненульове і раціональне, то цей вираз має бути ірраціональним. Оскільки tan(π/4) = 1, випливає, що π/4 є ірраціональним, а отже, π також ірраціональним.[2] Нижче наведено спрощення доведення Ламберта.

Доведення Ерміта

[ред. | ред. код]

У цьому доведенні, написаному в 1873 році, використовується характеристика π як найменшого додатного числа, в якого половина є нулем функції косинуса, і, фактично доводиться, що π2 є ірраціональним.[3][4] Як і в багатьох доведеннях ірраціональності, це доведення від супротивного.

Розглянемо такі послідовності функцій An і Un з до для визначеного як:

За допомогою індукції ми можемо це довести

і тому маємо:

Таким чином

що еквівалентно до

Використовуючи визначення послідовності та використовуючи індукцію, ми можемо показати, що

де Pn і Qn — поліноміальні функції з цілими коефіцієнтами, а ступінь Pn менший або дорівнює ⌊n /2⌋. Зокрема, An(π/2) = Pn(π2/4).

Ерміт також дав замкнутий вираз для функції An, а саме:

Він не обґрунтував це твердження, але його можна легко довести. Перш за все, це твердження еквівалентно

Виходячи з індукції, беручи n = 0:

а для індуктивного кроку розглянемо будь-який . Якщо

тоді, використовуючи інтегрування частинами та правило Лейбніца, отримуємо таке:

Якщо π2/4 = p/q, де p і q в , то, оскільки коефіцієнти Pn є цілими числами, а його ступінь менший або дорівнює ⌊n /2⌋, qn/2⌋Pn(π2/4) є деяким цілим числом N. Іншими словами,

Але це число очевидно більше 0. З іншого боку, межа цієї величини, коли n прямує до нескінченності, дорівнює нулю, отже, якщо n достатньо велике, N < 1. Тим самим досягається протиріччя.

Ерміт представив своє доведення не як самоціль, а як другорядну думку в рамках своїх пошуків доказу трансцендентності числа π. Він обговорював рекурентні відносини для мотивації та отримання зручного інтегрального представлення. Як тільки це інтегральне представлення отримано, існують різні способи представити стисле і самодостатнє доведення, починаючи з інтеграла (як у презентаціях Картрайта, Бурбакі чи Нівена), що Ерміт міг легко побачити (як він зробив у своєму доказі трансцендентності e[5]).

Крім того, доведення Ерміта ближче до доведення Ламберта, ніж здається. Насправді An(x) є «залишком» неперервного дробу Ламберта для tan(x).[6]

Доведення Картрайта

[ред. | ред. код]

Гарольд Джеффріс писав, що це доведення на іспиті в Кембриджському університеті в 1945 році навела Мері Картрайт, але вона не виявила його походження.[7] Це все ще залишається на 4-му проблемному аркуші сьогодні для курсу Analysis IA в Кембриджському університеті.[8]

Розглянемо інтеграли

де n – ціле невід’ємне число.

Два інтегрування частинами дають таке рекурентне співвідношення:

тоді це стає

Крім того, J0(x) = 2sin(x) і J1(x) = −4х cos(x) + 4sin(x). Отже, для всіх n ∈ Z+,

де Pn(x) і Qn(x) — поліноми ступеня ≤ n, і з цілими коефіцієнтами (залежно від n).

Візьмемо х = π/2, і припустимо, якщо можливо, що π/2 = a/b, де a і b — натуральні числа (тобто припустимо, що π раціональне). Потім

Права — частина ціле число. Але 0 < In(π/2) < 2, оскільки інтервал [−1, 1] має довжину 2, і функція, яка інтегрується, приймає лише значення між 0 і 1. З іншого боку,

Отже, для достатньо великих n

тобто ми можемо знайти ціле число на проміжку від 0 до 1. Це протиріччя, яке випливає з того припущення, що π є раціональним.

Це доведення подібний до доведення Ерміта. Дійсно,

Однак це явно простіше. Це досягається тим, що опускається індуктивне визначення функцій An і береться за відправну точку їх вираз у інтегральному вигляді.

Доведення Нівена

[ред. | ред. код]

У цьому доведенні використовується характеристика π як найменшого позитивного нуля функції синуса.[9]

Припустімо, що π раціональне число, тобто π = a /b для деяких цілих чисел a і b ≠ 0, які без втрати загальності, можна розглядати як додатні. Дано будь-яке натуральне число n, ми визначаємо поліноміальну функцію:

і для кожного x ∈ ℝ нехай

Твердження 1: Сума F(0) + F(π) є цілим числом.

Доведення: Розкладаючи f як суму одночленів, коефіцієнт при xk є числом виду ck /n! де ck — ціле число, яке дорівнює 0, якщо k < n. Тому f (k)(0) дорівнює 0, коли k < n і дорівнює (k! /n!) ck якщо nk ≤ 2n. У кожному випадку f (k)(0) є цілим числом, тому F (0) є цілим числом.

З іншого боку, f(πx) = f (x), отже (–1)kf (k)(πx) = f (k)(x) для кожного невід’ємного цілого числа k. Зокрема, (–1)kf (k)(π) = f (k)(0). Тому f (k)(π) також є цілим числом, тому F (π) є цілим числом (фактично, легко побачити, що F(π) = F(0), але це не має відношення до доказу). Оскільки F(0) і F(π) є цілими числами, їхня сума також є цілими.

Твердження 2:

Доведення: Оскільки f (2n + 2) є нульовим многочленом, ми маємо

Похідні функції синуса та косинуса подаються через sin' = cos і cos' = −sin. Звідси випливає правило добутку

За основною теоремою числення:

Оскільки sin 0 = sin π = 0 і cos 0 = – cos π = 1 (тут ми використовуємо згадану вище характеристику π як нуля функції синуса), випливає з твердження 2.

Висновок: Оскільки f(x) > 0 і sin x > 0 для 0 < x < π (оскільки π є найменшим додатним нулем функції синус), твердження 1 і твердження 2 показують, що сума F(0) + F(π) є натуральним числом. Оскільки 0 ≤ x(abx) ≤ πa і 0 ≤ sin x ≤ 1 для 0 ≤ xπ, ми отримаєм, згідно з початковим визначенням f,

який менший за 1 для великого n, отже F(0) + F(π) < 1 для цих n, згідно з твердженням 2. Це неможливо для натурального числа F(0) + F(π). Це показує, що початкове припущення про раціональність π призводить до протиріччя, яке завершує дане доведення.

Наведене вище доведення є відшліфованою версією, яка зберігається максимально простою щодо передумов аналізу формули

яка отримана 2n + 2 інтегруваннями частинами. Твердження 2 по суті встановлює цю формулу, де використання F приховує повторне інтегрування частинами. Останній інтеграл дорівнює нулю, оскільки f (2n + 2) є нульовим поліномом. Твердження 1 показує, що решта суми є цілим числом.

Доведення Нівена ближчий до доведення Картрайта (і, отже, Ерміта), ніж здається на перший погляд.[6] Насправді,

Отже, заміна xz = y перетворює цей інтеграл на

Зокрема,

Инший зв'язок між доведеннями полягає в тому, що Ерміт уже згадує[3], що якщо f є поліноміальною функцією і

потім

з чого випливає, що

Доведення Бурбакі

[ред. | ред. код]

Доведення Бурбакі описано як вправа в його трактаті про обчислення.[10] Для кожного натурального числа b і кожного невід’ємного цілого числа n визначено

Оскільки An(b) є інтегралом функції, визначеної на [0, π ], яка набуває значення 0 на 0 і на π і яке більше 0 інакше An(b) > 0. Крім того, для кожного натурального числа b, An(b) < 1, якщо n достатньо велике, оскільки

і таким чином

З іншого боку, повторне інтегрування частинами дозволяє нам зробити такий висновок, що, якщо a і b є натуральними числами і такими, щоб π = a/b і f — поліноміальна функція від [0, π ] до R, визначена за допомогою

потім:

Останній інтеграл дорівнює 0, оскільки f (2n + 1) є нульовою функцією (оскільки f є поліноміальною функцією ступеня 2n). Оскільки кожна функція f (k)0 ≤ k ≤ 2n) приймає цілі значення на 0 і на π, і оскільки те ж саме відбувається з функціями синусa і косинусa, це доводить, що An(b) є цілим числом. Оскільки це також більше ніж 0, це має бути натуральне число. Але було також доведено, що An(b) < 1, якщо n достатньо велике, таким чином досягаючи протиріччя.

Це доведення досить близьке до доведення Нівена, головна відмінність між ними полягає в способі доведення того, що числа An(b) є цілими.

Доведення Лачковича

[ред. | ред. код]

Доведення Міклоша Лачковича є спрощенням оригінального доведення Ламберта.[11] Він розглядає функції

Ці функції чітко визначені для всіх x ∈ R. Окрім того

Твердження 1. Справедливо наступне рекурентне співвідношення:

Доведення: це можна довести, порівнявши коефіцієнти степенів x.

Твердження 2: Для кожного x ∈ R,

Доведення: Справді, послідовність x2n/n ! обмежена (оскільки вона збігається до 0), і якщо C є верхньою межею, і якщо k > 1, тоді

Твердження 3: Якщо x ≠ 0 і якщо x2 раціональне число, то

Доведення: В іншому випадку, було б число y ≠ 0 і цілі числа a і b такі, що fk(x) = ay і fk + 1(х) = by. Щоб зрозуміти чому так, візьміть y = fk + 1(х), а = 0 і b = 1 якщо fk(x) = 0; інакше виберіть цілі числа a і b так, щоб fk + 1(x)/fk(x) = b/a і визначимо y = fk(x)/a = fk + 1(x)/b. У кожному випадку y не може дорівнювати 0, оскільки інакше з твердження 1 випливало б, що кожне fk + n(x)(n ∈ N) буде 0, що суперечило б твердженню 2. Тепер візьміть натуральне число c таке, що всі три числа bc/k, ck/x2 і c/x2 є цілими числами, і розглянемо послідовність

Потім

З іншого боку, з твердження 1 випливає, що

що є лінійною комбінацією gn + 1 і gn з цілими коефіцієнтами. Отже, кожен gn є цілим числом, кратним y. Крім того, з твердження 2 випливає, що кожен gn більший ніж 0 (і тому gn ≥ |y|), якщо n достатньо велике і послідовність усіх gn збігається до 0. Але послідовність чисел більше або дорівнює |y| не може сходитися до 0.

Оскільки f1/2(π/4) = cos(π/2) = 0, то з твердження 3 випливає, що π2/16 ірраціональне, а отже, π ірраціональне.

З іншого боку, оскільки

іншим наслідком твердження 3 є те, що якщо x ∈ Q \ {0}, потім tan x є ірраціональним числом.

Доведення Лачковича насправді стосується гіпергеометричної функції. Справді, fk(x) = 0F1(k; −x2) і Гаусс знайшов розкладання гіпергеометричної функції в неперервний дріб за допомогою її функціонального рівняння.[12] Це дозволило Лачковичу знайти новий і простіший доказ того факту, що функція тангенса має розклад у неперервний дріб, який відкрив Ламберт.

Результат Лачковича також можна виразити у функціях Бесселя першого роду Jν(x). Справді, Γ(k)Jk − 1(2x) = xk − 1fk(x). Отже, результат Лачковича еквівалентний: Якщо x ≠ 0 і якщо x2 раціональне, то

Список літератури

[ред. | ред. код]
  1. Lindemann, Ferdinand von (2004) [1882], Ueber die Zahl π, у Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (ред.), Pi, a source book (вид. 3rd), New York: Springer-Verlag, с. 194—225, ISBN 0-387-20571-3.
  2. Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (2004). Pi, a source book (вид. 3rd ed). New York: Springer. ISBN 0-387-20571-3. OCLC 53814116.
  3. а б Hermite, Charles (1873). Extrait d'une lettre de Monsieur Ch. Hermite à Monsieur Paul Gordan. Journal für die reine und angewandte Mathematik (фр.). 76: 303—311.
  4. Hermite, Charles (1873). Extrait d'une lettre de Mr. Ch. Hermite à Mr. Carl Borchardt. Journal für die reine und angewandte Mathematik (фр.). 76: 342—344.
  5. Hermite, Charles (1912). Sur la fonction exponentielle. У Picard, Émile (ред.). Œuvres de Charles Hermite (фр.). Т. III. Gauthier-Villars. с. 150—181.
  6. а б Zhou, Li (2011). Irrationality proofs à la Hermite. The Mathematical Gazette. 95 (534): 407—413. arXiv:0911.1929. doi:10.1017/S0025557200003491.
  7. Jeffreys, Harold (1973), Scientific Inference (вид. 3rd), Cambridge University Press, с. 268, ISBN 0-521-08446-6
  8. Department of Pure Mathematics and Mathematical Statistics. www.dpmms.cam.ac.uk. Процитовано 19 квітня 2022.
  9. Niven, Ivan (1947), A simple proof that π is irrational (PDF), Bulletin of the American Mathematical Society, 53 (6): 509, doi:10.1090/s0002-9904-1947-08821-2
  10. Bourbaki, Nicolas (1949), Fonctions d'une variable réelle, chap. I–II–III, Actualités Scientifiques et Industrielles (фр.), т. 1074, Hermann, с. 137—138
  11. Laczkovich, Miklós (1997), On Lambert's proof of the irrationality of π, American Mathematical Monthly, 104 (5): 439—443, doi:10.2307/2974737, JSTOR 2974737
  12. Gauss, Carl Friedrich (1811–1813), Disquisitiones generales circa seriem infinitam, Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores (лат.), 2