Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
В алгебрі вкладеним радикалом називають радикал, що міститься в іншому радикалі. Наприклад
![{\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}\ }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e782b21c157af155d8fe8f0a92af00e90c55a076)
або складніший приклад
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[{3}]{4}}\ }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16622bdbf373e2237bfac23a3c7cf619353e851e)
Значення всіх вкладених радикалів називають виразни́ми в радикалах.
Деякі вкладені радикали можна спростити. Наприклад:
![{\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ebb68659bfe33b904adef1ce2a227b41c12045)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{3}]{9}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a0cacad52ba247ccc394608bc1d35f054ca453)
У загальному випадку спрощення є складною проблемою, якщо воно взагалі можливе. Коли
раціональне, зробити спрощення дозволяє така формула:
![{\displaystyle {\sqrt {a\pm b{\sqrt {c}}}}={\sqrt {\frac {a+R}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {a-R}{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73a6a60516c6b49e177d728ac50c5341a956763d)
Наприклад,
![{\displaystyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}={\sqrt {\frac {a+b}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {a-b}{2}}}\quad (|a|\geq |b|).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da0d1d9e5d5317bf8ad76c2d397fc0304e5217be)
Зокрема, для комплексних чисел (
):
де ![{\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9348c4d6b7a1b87e63093439c58dcb835c4eb87d)
У деяких випадках нескінченно вкладені радикали можуть бути тотожними деякому раціональному числу, наприклад вираз
![{\displaystyle x={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a6f350e6eb25e996868dd4ada2e53a6c5da4a0)
дорівнює 2. Для того щоб це побачити, піднеседемо обидві частини виразу до квадрата і віднімемо 2:
;
;
.
Очевидно, що
не може бути значенням вихідного радикала.
- Для квадратного кореня:
;
- Для кореня степеня
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{\cdots }}}}}}}}}}=x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad446434acd8335882e16cf64c6cfd0f684c68ad)
- де
є розв'язком рівняння
.
- Формула Рамануджана:
![{\displaystyle x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {a(x+2n)+(n+a)^{2}+(x+2n){\sqrt {\cdots }}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49b13f66b8ca864ce9ef5f8a9a52d409b67eff23)
- Золотий перетин:
![{\displaystyle \phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {\cdots }}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e83d2d3ae7ffc831a34803a189f68173d2b2654e)
- Пластичне число:
![{\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{\cdots }}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f57d707b17b35b13b8cb91411fc2ee1b3127faf4)
- Число пі:
![{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84c3d6fa2b7ef7a8ab072af5284a9967ef746a2a)