Альтернований вузол

Один з трьох неальтернованих вузлів з числом перетинів 8

В теорії вузлів діаграма вузла або зачеплення є альтернованою, якщо перетини чергуються — під, над, під, над і т. д., якщо йти вздовж кожної компоненти зачеплення. Зачеплення є альтернованим, якщо воно має альтерновану діаграму.

Багато з вузлів з числом перетинів, меншим 10, є альтернованими. Цей факт і корисні властивості альтернованих вузлів, такі як гіпотези Тета, дозволили деяким дослідникам, включно з Тейтом, скласти таблиці з відносно малим числом помилок або упущень. Найпростіші неальтерновані прості вузли мають 8 перетинів (і є три таких вузли — 8_19, 8_20, 8₂₁₎.

Існує гіпотеза, що в міру зростання числа перетинів відсоток неальтернованих вузлів прямує до 0 експоненціально швидко.

Альтерновані зачеплення відіграють важливу роль у теорії вузлів і теорії тривимірних многовидів внаслідок того, що їх доповнення мають корисні й цікаві геометричні та топологічні властивості. Ральф Фокс поставив питання: «Що є альтернований вузол?», тобто, які властивості доповнення вузла, не пов'язані з діаграмами, можуть характеризувати альтерновані вузли.

В листопаді 2015 Джошуа Еван Ґрін опублікував препринт, у якому встановлюється характеризація альтернованих зачеплень у термінах визначення стягувальних поверхонь, тобто визначення альтернованих зачеплень (серед яких альтерновані вузли є окремим випадком) без використання концепції діаграм зачеплень.

Різна геометрична й топологічна інформація відкривається в альтернованих діаграмах. Простоту і розвідність зачеплення добре видно на діаграмі. Число перетинів наведеної альтернованої діаграми є числом перетинів вузла, і це одна зі знаменитих гіпотез Тейта.

Альтернована діаграма вузла має відповідність один-до-одного з планарним графом. Кожен перетин зв'язується з ребром і половина зв'язних компонент доповнення діаграми пов'язані з вершинами.

Гіпотези Тейта

Гіпотези Тейта:

1. Будь-яка наведена діаграма альтернованого зачеплення має найменше з можливих число перетинів.
2. Будь-які дві наведені діаграми того ж самого альтернованого вузла мають однакове число закрученості.
3. Якщо дано дві наведені діаграми D₁ і D₂ орієнтованого простого альтернованого зачеплення, D₁ можна перетворити на D₂ шляхом послідовності простих рухів, які називаються перевертаннями. Гіпотеза відома також як гіпотеза Тейта про перевертання.

Перші дві гіпотези Тейта довели Морвен Б. Тістлетвейт, Луїс Кауфман і Куніо Мурасугі (Kunio Murasugi) 1987 року, а 1991 року той самий Тістлетвейт і Вільям Менаско довели гіпотезу Тейта про перевертання.

Гіперболічний об'єм

Вільям Менаско, застосувавши теорему про гіперболізацію Терстона для многовидів Гакена, довів, що будь-яке просте нерозвідне альтерноване зачеплення є гіперболічним, тобто доповнення зачеплення має геометрію Лобачевського, якщо тільки зачеплення не є торичним.

Таким чином, гіперболічний об'єм є інваріантом багатьох альтернованих зачеплень. Марк Лакенбі показав, що об'єм має верхні і нижні лінійні границі як функції від числа ділянок перекручування на наведеній альтернувальній діаграмі.

Література

• Louis H. Kauffman. On Knots. — Princeton University Press, 1987. — Т. 115. — (Annals of Mathematics Studies). — ISBN 0-691-08435-1.
• C. Adams. The Knot Book: An elementary introduction to the mathematical theory of knots. — 2004. — ISBN 0-8218-3678-1.
• William Menasco. Closed incompressible surfaces in alternating knot and link complements // Topology. — 1984. — Т. 23, вип. 1. — С. 37–44.
• Marc Lackenby. The volume of hyperbolic alternating link complements. With an appendix by Ian Agol and Dylan Thurston // Proc. London Math. Soc. — 2004. — Т. 88, вип. 1. — С. 204–224.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Alternating Knot(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Tait's Knot Conjectures(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Celtic Knotwork [Архівовано 7 травня 2022 у Wayback Machine.] — побудова альтернованого вузла за його планарним графом